สรุป  เนื้อหาสอบปลายภาค 1/2552 วิชาคณิตศาสตร์ มัธยมศึกษาปีที่ 2

เรื่อง การแปลงทางเรขาคณิต
          การแปลงทางเรขาคณิตเป็นการเคลื่อนที่ของรูป (Rigid Motion) ซึ่งจะสัมพันธ์กับการเท่ากันทุกประการ โดยมีระยะห่างระหว่างจุด รูปร่าง ลักษณะ และขนาดเท่าเดิมกับรูปต้นแบบ หรืออาจกล่าวได้ว่าการแปลงทางเรขาคณิตเป็นการนำรูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่งได้สนิท  เราเรียกรูปเรขาคณิตก่อนการแปลงว่า รูปต้นแบบ   เรียกรูปเรขาคณิตหลังการแปลงว่า ภาพที่ได้จากการแปลง
          ในบทนี้จะศึกษาการแปลงทางเรขาคณิต 3 แบบ ได้แก่

     1. การเลื่อนขนาน (Translation) การเลื่อนขนานบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีการเลื่อนจุดทุกจุดไปบนระนาบตามแนวเส้นตรงในทิศทางเดียวกันและเป็นระยะทาง ที่เท่ากันตามที่กำหนดในการบอกทิศทางและระยะทางของการเลื่อนขนาน จะใช้เวกเตอร์เป็นตัวกำหนด
          สรุปการเลื่อนขนานได้ดังนี้
          1. รูปต้นแบบกับภาพที่เกิดจากการเลื่อนขนานเท่ากันทุกประการ
          2. ระยะห่างระหว่างจุดที่สมนัยกันของรูปต้นแบบกับภาพที่เกิดจากการเลื่อนขนานหรือขนาดของการเลื่อนขนานเท่ากัน
          3. ส่วนของเส้นตรงที่สมนัยกันของรูปต้นแบบกับภาพที่เกิดจากการเลื่อนขนานจะเท่ากันหรือขนานกัน

     2. การสะท้อน (Reflection)
การสะท้อนบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีเส้นตรง m ที่ตรึงเส้นหนึ่งเป็นเส้นสะท้อน
          สมบัติของการสะท้อน มีดังนี้
          1. รูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการสะท้อนเท่ากันทุกประการ
          2. ส่วนของเส้นตรงบนรูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการสะท้อนของส่วนของเส้นตรงนั้น ไม่จำเป็นต้องขนานกันทุกคู่
          3. ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบกับจุดที่สมนัยกันบนภาพทีได้จากการสะท้อนจะขนานกัน และไม่จำเป็นต้องยาวเท่ากัน

     3 การหมุน (Rotation)
          สมบัติของการหมุนมีดังนี้
          1. รูปต้นแบบกับภาพที่ได้จากการหมุนเท่ากันทุกประการ
          2. ส่วนของเส้นตรงบนรูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการหมุนส่วนของเส้นตรงนั้นไม่จำเป็นต้องขนานกันทุกคู่
          3. จุดบนรูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการหมุนแต่ละคู่จะอยู่บนวงกลมที่มีจุดหมุนเป็นจุดศูนย์กลางเดียวกัน แต่วงกลมเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องมีรัศมียาวเท่ากัน

เรื่องความเท่ากันทุกประการ
ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ  แล้ว  ด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองมีขนาดเท่ากันเป็นคู่ ๆ กล่าวคือ               
          1.  มีด้านที่เท่ากัน  3  คู่  ด้านต่อด้าน               
          2.  มีมุมที่ขนาดเท่ากัน  สามมุม  มุมต่อมุม

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กับแบบด้าน–มุม– ด้าน(การพิสูจน์)
           ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใด  ๆ  มีด้านยาวเท่ากัน  2  คู่  และมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากันมีขนาดเท่ากันแล้ว  รูปสามเหลี่ยม  2  รูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กับแบบ มุม - ด้าน – มุม (การพิสูจน์)
           ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใด  มีมุมที่มีขนาดเท่ากัน  2  คู่  และด้านเท่ากันซึ่งเป็นแขนร่วมของมุมทั้งสองที่มีขนาดเท่ากันยาวเท่ากัน ด้วยแล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้น จะเท่ากันทุกประการ

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กับแบบ ด้าน - ด้าน – ด้าน (การพิสูจน์)
           ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใด ๆ มีด้านยาวท่ากันสามคู่  ด้านต่อด้านแล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้น จะเท่ากันทุกประการ

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กับแบบ ฉาก - ด้าน – ด้าน (การพิสูจน์)
           ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใด ๆ มุมเป็นมุมฉาก   มีด้านประชิดมุมฉากและด้านประกอบมุมฉากยาวเท่ากัน เป็นคู่ๆ แล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้น จะเท่ากันทุกประการ

 

เรื่องพหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
     การบวก การลบพหุนาม
     การคูณ และการหารพหุนาม
     การแยกตัวประกอบพหุนามโดยวิธีการแจกแจง
     การแยกตัวประกอบในรูปกำลังสองสมบูรณ์
     การแยกตัวประกอบในรูปผลต่างกำลังสอง